Равенство смешанных производных

Если частные производные $f'_x(x,y)$ и $f'_y(x,y)$ определены в $O(x^0, y^0)$ и дифференцируемы в $(x^0, y^0)$, то смешанные частные производные равны в этой точке: $$f''_{xy}(x^0, y^0) = f''_{yx}(x^0, y^0)$$

Рассмотрим разность второго порядка в точке $(x^0, y^0)$, соответствующую приращению $(\Delta x, \Delta y) = (h, h)\mathpunct{:}$ $$\Delta^2 f = f(x^0 + h, y^0 + h) - f(x^0, y^0 + h) - f(x^0 + h, y^0) + f(x^0, y^0)$$ Пусть $g(y) = f(x^0 + h, y) - f(x^0, y)$. Тогда $\Delta^2 f = g(y^0 + h) - g(y^0)$. По теореме Лагранжа $\exists{\theta \in (0, 1)}\mathpunct{:}$ $$\Delta^2 f = g'(y^0 + \theta h)h = (f'_y(x^0 + h, y^0 + \theta h) - f'_y(x^0, y^0 + \theta h))h$$ По определению дифференцируемости $f'_y$: $$f'_y(x^0 + h, y^0 + \theta h) = f'_y(x^0, y^0) + f''_{yx}(x^0, y^0)h + f''_{yy}(x^0, y^0)\theta h + o(\Vert (h, h) \Vert)$$ $$f'_y(x^0, y^0 + \theta h) = f'_y(x^0, y^0) + f''_{yx}(x^0, y^0) \cdot 0 + f''_{yy}(x^0, y^0)\theta h + o(\Vert (h, h) \Vert)$$ Вычитая второе выражение из первого и подставляя в формулу для $\Delta^2 f$, получаем: $$\Delta^2 f = (f''_{yx}(x^0, y^0)h + o(\Vert (h, h) \Vert))h = f''_{yx}(x^0, y^0)h^2 + o(h^2)$$ Аналогично, если рассмотреть разность вида: $$\Delta^2 f = f(x^0 + h, y^0 + h) - f(x^0 + h, y^0) - f(x^0, y^0 + h) + f(x^0, y^0)$$ и применить теорему Лагранжа по переменной $x$, а затем воспользоваться определением дифференцируемости $f'_x$, получим: $$\Delta^2 f = f''_{xy}(x^0, y^0)h^2 + o(h^2)$$ Приравнивая два полученных выражения для $\Delta^2 f$: $$f''_{yx}(x^0, y^0)h^2 + o(h^2) = f''_{xy}(x^0, y^0)h^2 + o(h^2)$$ Делим на $h^2$ (при $h \neq 0$): $$f''_{yx}(x^0, y^0) + \dfrac{o(h^2)}{h^2} = f''_{xy}(x^0, y^0) + \dfrac{o(h^2)}{h^2}$$ Переходя к пределу при $h \to 0$, так как $\lim_{h \to 0} \dfrac{o(h^2)}{h^2} = 0$, получаем: $$f''_{yx}(x^0, y^0) = f''_{xy}(x^0, y^0)$$ $\square$

Если частные производные $f'_x(x,y)$ и $f'_y(x,y)$ определены в $O(x^0,y^0)$, смешанная частная производная $f''_{xy}(x,y)$ определена в $O(x^0,y^0)$ и непрерывна в $(x^0,y^0)$, то существует $f''_{yx}(x^0,y^0)$ и справедливо равенство $$f''_{xy}(x^0,y^0) = f''_{yx}(x^0,y^0)$$